从私立小学转到公立中学需要遵循以下步骤和条件：
提出转学要求
学生家长到学生现就读的民办学校提出转学要求，学校根据家长要求开具《转学联系函》。
申请转学
家长凭《转学联系函》向转入地的县级教育行政部门提出转学申请。
审核与通知
县级教育行政部门按照有关规定向符合条件的学生发放《学生转学函》和《转学注册通知书》。
办理转出手续
家长凭《学生转学函》到学生原就读的民办学校办理转出手续。
办理转入手续
家长凭《转学注册通知书》到转入的公立学校办理转入注册手续。
所需材料
学生的转学申请表格、户口本和身份证复印件、学籍档案和转学证明、成绩单和近期体检报告、父母的身份证复印件和户口本、住房证明和居住证复印件等。
特殊情况
若有特殊情况，如赞助协议或医疗证明等，可能需要提供相关证明文件。
注意事项
转学学生入学注册时间原则上与新学期其他学生入学时间相同，转出手续一般应在开学后10个工作日内办理，毕业年级第二学期原则上不办理转学。
公办中学是义务教育，不收费，需要提供学生的成绩单和学校对学生的综合评价、户口簿、居住地址证明材料等。
通过以上步骤和准备相应的材料，学生可以顺利完成从私立小学到公立中学的转学。建议家长提前了解并准备好所有必需的文件，以确保转学的顺利进行。