从私立小学转到公立初中，需要遵循以下步骤和条件：
提出转学要求
学生家长到学生现就读的民办学校提出转学要求，学校根据家长要求开具《转学联系函》。
申请转学
家长凭《转学联系函》向转入地的县级教育行政部门提出转学申请。
审核与通知
县级教育行政部门按照有关规定向符合条件的学生发放《学生转学函》和《转学注册通知书》。
办理转出手续
学生家长凭《学生转学函》到学生原就读的民办学校办理转出手续。
办理转入手续
家长凭《转学注册通知书》到转入的公立学校办理转入注册手续。
所需材料
学生的转学申请表格
学生的户口本和身份证复印件
学生的学籍档案和转学证明
学生的成绩单和近期的体检报告
父母的身份证复印件和户口本
住房证明和居住证复印件
特殊情况下，还需要提供相关的证明文件，例如赞助协议或医疗证明。
其他注意事项
转学学生入学注册时间原则上与新学期其他学生入学时间相同。
转出手续一般应在开学后10个工作日内办理，毕业年级第二学期原则上不办理转学。
需要有正当理由，例如家庭迁移或其他特殊情况，并且需要经过两个学校的同意。
综上所述，从私立小学转到公立初中需要家长和学生共同努力，按照规定的流程和准备相应的材料，以确保转学的顺利进行。建议提前了解并确认所有相关手续和条件，以确保转学过程顺畅。