小学招生的负责部门主要有以下几种说法：
各小学自己负责：
小学招生是划片招生，学生以户籍为准就近入学。划片是学校的上级负责，招生是学校具体操作。学校教务处负责招生，就相当于学校招生办。因此，有孩子要上学的，直接联系附近学校的教务处就可以了。
教育局的教育科或基教科：
如果是对学区划片有异议的，就要联系教育局的教育科。局属义务教育学校由区教育体育局统一划片招生，镇街教育体育发展服务中心参照局属义务教育学校招生相关规定，结合镇街实际，自行制定招生办法并开展招生工作。
镇街教育体育发展服务中心：
镇街教育体育发展服务中心或局属小学为单位于7月19日前到区教育体育局基教科审批。民办小学招生由学校所在区教育行政部门审批，并统一安排。
综合以上信息，可以得出以下结论：
小学招生通常由各小学自行负责，具体操作由教务处或招生办承担。
家长在招生过程中如对学区划片有异议，应联系教育局的教育科或基教科。
镇街教育体育发展服务中心和局属小学需按照区教育体育局的规定进行招生，民办小学的招生也由区教育行政部门审批和安排。
建议家长在具体操作前，先咨询当地小学或教育局，以获取最准确的信息和指导。