书院小学的性质如下：
公办小学：
滕州市荆河街道书院街二巷六号的书院小学是一所公办小学，由滕州市教育和体育局主管。
民办寄宿制小学：
南阳市宛城区书院小学是一所民办寄宿制小学，由南阳宛运集团创办，宛城区教体局批准设立。
民办全日制学校：
光明书院小学部是一所民办全日制学校，实行十二年级一贯制，设有小学部。
老牌民办小学：
南阳市书院小学是南阳市老牌的民办小学。
公立直属小学：
北京明远教育书院实验小学是朝阳区一所公立直属小学。
新建标准化小学：
晋城市城区书院小学是一所新建的标准化小学。
综上所述，书院小学可以是公办小学、民办寄宿制小学、民办全日制学校、老牌民办小学、公立直属小学或新建标准化小学，具体性质取决于其所在地区和教育部门的定义。