私立小学毕业生想要进入公立初中，通常有以下几种途径：
参加公立初中入学考试
学生可以参加公立中学的小升初考试，如果成绩达到公立中学的录取分数线，就有机会进入。
对口直升
部分私立小学与公立中学有对口直升协议，私立小学的学生毕业后可以直接进入对口的公立中学。
自行申请
学生可以在公立中学的官方网站或招生办公室了解相关信息，并自行申请进入公立中学，需要提交个人信息、学业成绩、获奖经历等材料。
划片就近入学
小学升初中一般是划片就近入学，主要看户籍和住房，只要符合政策要求，无论是私立小学还是公立小学的学生都可以升入公立初中。
政策性照顾
具有广州市户籍且在公办小学毕业的学生及政策性照顾学生，原则上在毕业学校所属区范围内升读公办初中。
特殊情况申请
如因特殊情况需回户籍所在区升学的学生，家长应向户籍区教育行政部门提出申请，并提交实际居住的有效文书资料。
请注意，不同地区的入学政策和条件可能有所不同，建议家长提前咨询当地的教育行政部门或公立学校了解具体的入学要求和流程。