公立小学学生想要考入私立初中，通常需要经过以下几个步骤：
了解私立初中的招生政策和要求
收集私立初中的招生简章或通过学校官方网站了解学校的招生政策、特色和要求。
准备入学材料
根据学校要求，准备所需的入学申请材料，如京籍学生需要提供户籍证明、房产证明等；非京籍学生需要提供在京务工就业证明、实际居住证明、全家户口簿和北京市居住证等。
参加入学测试
部分私立初中会要求学生入学前参加学校的入学测试，一般测试包括笔试和面试。笔试通常包含语文、数学和英语，面试主要是了解学生的综合素养。
报名和录取
按照学校规定的时间和方式，将申请表格和相关材料提交给意向就读的私立初中学校。部分学校可能会要求学生参加面试或考试，以评估学生的能力和适应性。
等待学校发布录取结果，并按照学校要求进行确认入学手续。
补录
若同时被几所学校录取，学生可以选择较适合自己的一所进行学费的缴纳、考试、军训等一系列学校安排。同时，若存在补录机会，可以关注补录信息。
建议
提前规划：家长和学生应提前了解并规划好入学流程，确保材料准备充分。
关注政策：关注入学政策的变化，特别是非京籍学生的入学条件，以便及时应对。
选择合适学校：根据学生的兴趣、特长和实际情况，选择合适的私立初中。
注重面试准备：面试是入学测试的重要环节，家长可以帮助学生提前准备，提升综合素养。
通过以上步骤和准备，公立小学的学生可以顺利考入私立初中。