私立小学毕业生升入公立初中主要有以下几种方式：
参加小升初考试
学生可以参加公立中学的小升初考试，如果考试成绩达到公立中学的录取分数线，就有机会进入公立中学。
对口直升
部分私立小学与公立中学有对口直升协议，私立小学的学生可以在毕业后直接进入对口的公立中学。
自行申请
学生可以在公立中学的官方网站或招生办公室了解相关信息，自行申请进入公立中学。在申请时，需要提交个人信息、学业成绩、获奖经历等相关材料。
划片就近入学
小学升初中一般是划片就近入学，小学不管是公立还是私立，只要符合政策要求都可以升入公立初中。划片就近入学主要看户籍和住房，只要户籍和住房符合政策要求，属于公立中学的辖区，私立小学和公立小学的学生一样，没有特殊的要求。
电脑派位
某些区域（如思明区、湖里区）的民办小学毕业生可以获得推荐资格，参加电脑派位。具体条件包括户籍、居住时间、社保缴纳情况等，符合条件的学生可以被派位到指定的公立中学。
建议
提前了解政策：不同区域的升学政策可能有所不同，建议家长提前了解所在区域的具体升学政策和要求。
准备材料：申请公立初中时，需要准备相关的个人信息和学业成绩材料，以便在申请过程中能够提供充分的证明。
选择学校：可以根据自己的实际情况和喜好，选择合适的公立中学进行申请。
总之，私立小学毕业生升入公立初中主要是通过参加小升初考试、对口直升、自行申请、划片就近入学和电脑派位等方式。家长和学生需要提前了解并准备好相关材料和手续，以便顺利升入理想的公立中学。