小学生应该背诵的古文主要包括以下几类：
经典蒙学读物
《三字经》：内容涵盖历史、文化、道德等方面，通俗易懂，适合小学生记忆和朗读。
《百家姓》：收录了中国古代姓氏，有助于了解中国传统文化和家族历史。
《千字文》：由一千个不重复的汉字组成，是一篇结构严谨、语言优美的韵文。
《弟子规》：儒家经典之一，讲述了弟子应遵循的道德规范和生活准则。
经典诗词
《论语》、 《孟子》、 《大学》、 《中庸》和 《诗经》等经典著作的部分内容，这些篇目代表了中国文化中的经典思想和价值观，对于小学生认识中国传统文化、强化语文素养、促进人格修养都有重要作用。
汉乐府和北朝民歌
《江南》（江南可采莲）、 《长歌行》（青青园中葵）、 《敕勒歌》（敕勒川）、 《咏鹅》（鹅鹅鹅）等，这些作品语言简练，意境深远，富有教育意义。
其他经典作品
《回乡偶书》（少小离家老大回）、 《凉州词》（黄河远上白云间）、 《登鹳雀楼》（白日依山尽）、 《春晓》（春眠不觉晓）等，这些诗词都是历代传诵的名篇佳作，是中国五千年诗歌史上的精华之作。
综上所述，小学生应该背诵的古文不仅包括经典的蒙学读物和诗词，还涵盖了一些重要的经典著作和民歌。这些内容不仅有助于提高小学生的文化素养和道德修养，还能增强他们的爱国情感和文化认同感。建议家长和老师结合小学生的实际情况，选择合适的内容进行背诵和指导。