私立小学毕业生升入公办初中的方式主要有以下几种：
参加小升初考试
私立小学毕业生可以参加公立中学的小升初考试，如果考试成绩达到公立中学的录取分数线，就有机会进入公立中学。
对口直升
部分私立小学与公立中学有对口直升协议，私立小学的学生可以在毕业后直接进入对口的公立中学。
自行申请
学生可以在公立中学的官方网站或招生办公室了解相关信息，自行申请进入公立中学。在申请时，需要提交个人信息、学业成绩、获奖经历等相关材料。
划片就近入学
小学升初中一般是划片就近入学，小学不管是公立还是私立，只要符合政策要求都可以升入公立初中。划片就近入学主要看户籍和住房，只要户籍和住房符合政策要求，属于公立中学的辖区，私立小学和公立小学的学生一样，没有特殊的要求。
学籍档案
只要私立小学有经过当地政府和教育部门批准而设立的，有为就读的学生建立学籍档案（纸质学籍档案和电子学籍），那么上私立小学的学生，升初中时可以进入公办学校就读，也可以到私立的初中学校就读。
特殊推荐条件
对于某些特殊情况，如符合特定条件的非本地户籍学生，可能需要满足一定的推荐条件，如居住时间、社保缴纳时间等，才能获得进入公办初中的机会。
建议
提前了解政策：家长和学生需要提前了解所在地区的升学政策和具体流程，以便做好准备。
准备材料：根据选择的升学方式，提前准备好所需的材料，如成绩单、获奖证书、户籍证明、住房证明等。
关注对口直升信息：如果所在地区有对口直升政策，家长和学生需要关注私立小学与公立中学的对口关系，以便在毕业后能够顺利直升。
选择学校：根据学生的个人情况和兴趣，选择合适的公立中学，并在申请过程中充分展示学生的优势。
通过以上方式，私立小学毕业生可以顺利升入公办初中。建议家长和学生提前规划，做好充分的准备。