小学私立初中转公立的步骤和所需材料如下：
了解当地政策
首先，需要了解所在地区的转学政策和具体步骤。不同区县的规定可能会有所不同，因此建议到所在辖区教育部门或者相关网站查询具体细则。
准备材料
学生的转学申请表格。
学生的户口本和身份证复印件。
学生的学籍档案和转学证明。
学生的成绩单和近期的体检报告。
父母的身份证复印件和户口本。
住房证明和居住证复印件。
特殊情况下，还需要提供相关的证明文件，例如赞助协议或医疗证明。
申请转学
学生家长到学生现就读的民办学校提出转学要求，学校根据家长要求开具《转学联系函》。
家长凭《转学联系函》向转入地的县级教育行政部门提出转学申请。
县级教育行政部门按照有关规定向符合条件的学生发《学生转学函》和《转学注册通知书》。
办理转出手续
家长凭《学生转学函》到学生原就读的民办学校办理转出手续，学校需要开具正式转学证明。
办理转入手续
家长凭《转学注册通知书》到转入的公立学校办理转入注册手续，学校需要盖章确认接收。
注意事项
转学学生入学注册时间原则上与新学期其他学生入学时间相同，毕业年级第二学期原则上不办理转学。
公办学校是义务教育，不收费，但需要提供学生的成绩单和学校对学生的综合评价，以及学生的户口簿和居住地址证明材料。
由于公立学校的学位有限，转学需要满足私立学校转学条件，并且考虑到公立学校的招生计划和录取情况。
通过以上步骤和准备相应的材料，学生可以顺利完成从小学私立初中到公立初中的转学。建议家长提前了解并确认所有相关政策和手续，以确保转学过程顺畅。