从公立小学转到私立初中，需要满足一定的条件并遵循一定的流程。以下是详细的步骤和注意事项：
满足转学条件
户籍迁移：学生需要将户籍跟随父母或法定监护人迁移到本市内，且迁移后的户籍不在原公立学校入学服务范围内。或者，学生实际家庭居住地址随父母或法定监护人实际居住地在市内发生变更，变更后的实际居住地不在原就读公立学校的片区范围内，并且需要家庭有新购入房产。
学籍状态：学生在公立初中的学籍应当是正常状态，没有欠缴费用等不良记录。
年龄要求：初中生入学年龄为12-15岁，转学学生需符合私立初中的入学年龄要求。
准备相关材料
身份证明：学生及监护人的身份证明。
学籍证明：从公立学校开具的学籍证明。
成绩单：学生在校期间的成绩单。
体检报告：学生的体检报告。
家长同意书：家长同意学生转学的证明。
参加入学考试
部分私立初中会对转学生进行入学考试，以评估学生的学业水平。学生需在考试中达到学校规定的分数线，才有机会转入。
办理转学手续
提交申请：学生监护人向原就读学校提出转学申请，并调取学籍档案。
联系意向学校：联系意向的私立学校，了解学校是否有转学名额及能否接受学生的学籍，并根据学校的转学要求准备好相应的转学申请材料。
审核与备案：转出学校和转入学校都需要审核并盖章，教育局也需要核准并备案。
办理转入手续：学生持转学证明到转入学校办理转入手续，完成所有相关手续后，学籍将正式转入私立学校。
注意事项
公立学校不允许空挂学籍，私立学校也不允许接受没有学籍的转学生。学籍是全国互通的，只要符合转学要求并办好学籍转移手续，就可以转学成功。
外地户籍的学生如果在北京完成高中三年的课程教育，同意不保留北京高中学籍的情况下，转学手续会比较简单，只需报名私立学校入学考试并按时参加考试即可。
综上所述，从公立小学转到私立初中需要满足一定的条件，并准备好所有必要的材料，通过入学考试后，按照规定的流程办理转学手续。建议提前了解并确认所有相关要求和流程，以确保转学过程顺利。