私立小学升入初中的方式一般有以下几种：
统一升学考试
厦门市每年6月份会组织小学毕业生进行统一升学考试，考试内容主要包括语文、数学、英语三个科目。
学生通过考试后，可以选择报考心仪的初中。
推荐入学
一些初中学校会根据学生的成绩、综合素质等方面进行招生，并会向小学推荐优秀学生。
小学可以根据学生的意愿和家长的意愿选择报考这些学校。
特长生招生
部分初中学校会招收在艺术、体育、音乐等方面有特长的学生，这些学生需要通过专门的测试和评定，测试通过后可直接被录取。
私立学校直升
如果学生所在的私立学校设有小学部和初中部，那么学生小学毕业后可以直接直升到初中部，无需进行额外的升学考试。
公办初中升学
民办小学毕业生也可以选择回户籍所在地，通过统筹安排进入公办初中。这种方式下，学生可能需要参加公办学校的入学考试或符合一定的入学条件。
网上报名与录取
某些地区如张家口、成都等地，民办小学毕业生可以通过网上报名和随机派位的方式进入民办初中。需要关注当地教育局的招生信息，并按照要求进行网上报名和录取。
建议
提前规划：家长和学生应提前了解并确认目标初中的入学要求和流程，以便有针对性地准备升学。
关注政策：不同地区的升学政策和时间安排可能有所不同，建议及时关注当地教育局的官方公告。
全面发展：在小学阶段，除了学业成绩，还应注重培养学生的综合素质和特长，以增加升学机会。