在南京，公办小学之间的转学流程如下：
提前联系并登记学位
在学期结束前一周，学生家长或其他法定监护人到户籍所辖的小学联系，咨询并登记学位，了解具体的转学手续办理时间。
提出转学申请
确定转入学校后，学生家长或其他法定监护人向在读学校提出转学申请。
办理转学手续
转出学校凭转入学校同意接收函开具转学证明，并提供学籍资料，将有关转学资料录入计算机。
转入学校凭转学证明及学籍资料接收学生，并办理有关手续。
提交必要材料
学生与监护人的户口本。
监护人的房产证。
转出学校的转学证。
学籍号。
成绩单。
户籍迁移证明。
合法固定住所证明。
转学证明（需转出地教育主管部门盖章确认）。
审核与备案
学生转出本市，需到教育主管部门审核、盖章、备案。
学籍异动申请
家长需要登陆全国中小学学籍系统，发起学生转学业务，并在学籍管理系统中进行学籍异动申请。
注意事项
民办学校的学生不得转学至非户籍所在地公办学校。
义务教育阶段学生因全家户口及家庭住址跨省、市、区县迁移或在本（市）内户口及家庭住址跨乡（镇）迁移，可准予在公办学校之间转学。
休学期间转学的学生，休学期满转入学校方可准予复学。
以上是南京公办小学转学的详细流程和所需材料，希望对您有所帮助。建议提前规划并准备好所有必要的文件，以确保转学过程顺畅。